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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 &% /q90  
J5?qKX8K  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. w I!3Hy  
`:}R$n  
　　1、三角函数本质： ^RHKJ=uf  
/ v bwJM  
　　三角函数的本质来源于定义 ^$|Sq\ kC  
\e'M%(  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 L%%*IV3  
bc npgFy  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 _c}d5zk  
*0T'AT1q]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ~Rw>f!V~?  
$W= /&Uz  
　　推导： xcX9~Os!  
aSfCLIWM  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Df8t*&  
{t;OD*miJ  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) si; O?*p  
M;~S40W  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Z/@ RNI0%~  
OnpWeE(  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2  egH!s:  
[6iBt)YtW  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） g1"yS 'Cs  
rXdiit@32  
　　[1] #e{"(E  
5PA B:1  
　　两角和公式 _OEldo+G  
o U'<#ux  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB L@|55lF  
;RST "(0  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  H e}KoC-  
1he`jP   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB F*TdN2Xf  
h&z<>w9B&  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB y3,\(cD  
ImgEMl^d#  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) ~Xc f0S\  
[\}Z4/  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Tgl+{,  
FVmVp,"  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  CA-ZLN=k  
@<0H02w C  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *N##xj6O  
Z@FcYbz  
倍角公式 Pc}WZXf1kG  
fSkGTYj  
　　Sin2A=2SinA•CosA Kl{$~N`JJ&  
Fw:&;9rX  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ,[dda-rT  
9 =@ Jun  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .1:CD<hZ  
Ckk7RZ9{T  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） P2NVc3  
&wc = \  
三倍角公式 bW_&E44  
vl/zTFB  
　　 N_%V5&v$*  
'[RC#7Ly  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) <fX M<E  
2Qm`0!jQ  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) LuP$pc*W  
%be}T0c@  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) wjT0o&KTQ  
K=$=i(u^  
三倍角公式推导 f+^!EP`?  
a3 PX1AT  
　　sin3a Hs!)YbA8  
JPwpX9  
　　=sin(2a+a) pCvpH  
8UyH-Cq  
　　=sin2acosa+cos2asina l%\&9(W8  
`dtI_K{zy  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina lD[J>up  
r<;vs^wp{L  
　　=3sina-4sin³a woD3,1Wr  
s^)&558  
　　cos3a Ig'mc  
'#wg)P\=Y  
　　=cos(2a+a) //~b8 e  
bcAXb^</@  
　　=cos2acosa-sin2asina HP8{Y'|K  
C^u(9&ub  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa _-)WMiMx@q  
Rq-_HGj  
　　=4cos³a-3cosa ~&H |Uo  
.a ._22<I  
　　sin3a=3sina-4sin³a `U (s~b  
Bj!<hg  
　　=4sina(3/4-sin²a) FPjt QBF\  
B&]"PT[ks  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] &Db[/fSa  
?bCRht  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) D< X \  
\=uXG D\  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) EBZ!}[Q[  
P5E<pp  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 1nb.)[#:  
`(fbf'  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) '%g>Y[r  
h)!  G7  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ''i7SQ^5B  
`pS1bVcZJ  
　　=4cosa(cos²a-3/4) OeiWR{Oo&[  
e-840SBO  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 6OJ|IPs  
Xg^S$p  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) P/+EXv/t?  
u yt%?IQ  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) FVl.+P<S  
3k.&Row=  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;(68WSs  
*v/,,  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) l#_oL|>lI  
=8D^gD}G  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] :}pup s  
e$WI<K An>  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] i-%w5oy  
!D 9.^u[|  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 8E\ $HG6  
03xK_  
　　上述两式相比可得 A/l5rk  
YA`/F:*  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) QFPzr%k  
||j=)<}  
半角公式 &+~GX(W  
eW$3-;  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 3tk qqYe  
BG'TY96X  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. .k#1~  
Xe[P  
和差化积 A!^j 0%  
u\UdE-K  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] W6o*[v   
#s qzfxvm  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \azl M{  
Sw>& RESq  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] = E"qo|}H  
k: 00+\m2  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] P_+i1{b  
R}@+)y07_  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) >&)h8h  
.iK-1>W]  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 8PA0nC,&  
mq"<_  
积化和差 LPzG ~Y7  
_Cwv0o  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] U}^Qq^]V  
sP?NRf  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] cvzaEg  
680|za4  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 1N#CNE7  
M]VI>xlgC  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] QpC3#fh>  
G)]1=[)N  
诱导公式 0rvvRH{{d  
RcUPW1/uF7  
　　sin(-α) = -sinα vf@~Cqvi  
;G N>F:  
　　cos(-α) = cosα G >R`;z #(  
A+UbV _tI  
　　sin(π/2-α) = cosα S"hcbVL(  
!'D}zKO)i  
　　cos(π/2-α) = sinα +Ytkl  
m=g,.<,  
　　sin(π/2+α) = cosα 4IG P[rE  
Cqqt-FS$7  
　　cos(π/2+α) = -sinα WW+Z,]`  
YI^U!N <  
　　sin(π-α) = sinα TC@E>*J  
uUz"RC!  
　　cos(π-α) = -cosα ]\~6r('>Y  
}cb` b5  
　　sin(π+α) = -sinα WZ_O >  
5 a[nYie  
　　cos(π+α) = -cosα PZtf# o  
9,#=: J  
　　tanA= sinA/cosA wg9 q9u  
0*Xvip=f1  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα A1J$a)  
.eC<7V  
　　tan（π/2－α）＝cotα 9<Ft-?  
io$5 .|:  
　　tan（π－α）＝－tanα NK>$|4{  
)z(u3g+K  
　　tan（π＋α）＝tanα vZ)%Ty  
A)0(O0VrJ  
万能公式 *2FiWj  
*+'_**? /{  
　　 qija|tG  
sZ9@-h  
其它公式 LM\1j  
:dEP A  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 ~hTrI:%  
#sNb~z W  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 {ZDSA='  
'W?qFRz  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 {,][+A+  
W A)8=:#  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 j)lb1}`~[  
f}X q-';hf  
　　对于任意非直角三角形,总有 Hy~!  
bMXYV+_K  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $*b&} 6  
iBB. ey  
　　证: %;AMDm|_  
EU=T VA[q  
　　A+B=π-C !x|2F35Y  
VQ lW^=^P  
　　tan(A+B)=tan(π-C) by6@gPG.  
=I )Vn%+U@  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) I50S'?%w  
2"8*D3}z\>  
　　整理可得 d1A6VN  
0qM!N<  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC h[S>Vwo  
A+1 TO~/=  
　　得证 K$zSV%<DL  
_]Tie|W  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 Y}2SP>c  
p`__y8aVh  
其他非重点三角函数 i" b;B  
G;=zTb  
　　csc(a) = 1/sin(a) D/<o=D<fA  
9ab2z4  
　　sec(a) = 1/cos(a) {CxU [s3S  
vO~+O-9[  
　　 PHK6}  
8CR5dZ0je  
双曲函数 Uk!&@DcF%  
oA%{5[J  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4?qqr;  
vq3 q~`q2  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 8 }Z%[OR  
.*{dKLi,8  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) *Peu]7K~  
4H/1A\Km  
　　公式一： j@,N hgHl  
FnT W4I$#  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ^gEX^  
-d5`Sj(xjw  
　　sin（2kπ＋α）= sinα KJc-@Z u  
Ef<}. N  
　　cos（2kπ＋α）= cosα \2dl#8L  
W'2_}8SL  
　　tan（kπ＋α）= tanα fHnXFD!I  
VW@.inf  
　　cot（kπ＋α）= cotα BD4'ylz'  
4}q?a$V\>  
　　公式二： PO 15mS*  
INJKra:  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： A4`F7h!?^  
I:bs)]m6  
　　sin（π＋α）= -sinα r)XFeR  
:e7J'A:Vh  
　　cos（π＋α）= -cosα sCrEHR8kO  
{'*d/  
　　tan（π＋α）= tanα _#:NCd  
."^y09E  
　　cot（π＋α）= cotα n=oA J'@Gg  
GwdB:/6  
　　公式三： `- "sR  
m&jh 0tKW  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： "B`!wT%Ak  
PW8+B3Hb4  
　　sin（-α）= -sinα EO8  
9Z%s.e  
　　cos（-α）= cosα ]?su0VS  
{j;/A~n|  
　　tan（-α）= -tanα _<_@i/ =  
cR0n:yY6  
　　cot（-α）= -cotα }$d'@uIF  
:qLVBI7RN6  
　　公式四： _/LQ:T\qI  
MT+e>]zf  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： B8 1)i  
vje(,^k  
　　sin（π-α）= sinα y_n@)CuQl  
NrmW=iUZ[O  
　　cos（π-α）= -cosα &;^^Yz/A  
5~S/Le<  
　　tan（π-α）= -tanα x\ \,}W  
Vq`e$uq`  
　　cot（π-α）= -cotα >N| WJSw  
~Yp9zVCx=  
　　公式五： ;OkaC !  
I'G~`'cnk  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： DvqU0*n?  
KC@#sgqu[  
　　sin（2π-α）= -sinα n:_TK =;  
AD^xjo Uh  
　　cos（2π-α）= cosα _(b)8.!54  
_fnrkX3  
　　tan（2π-α）= -tanα 'd UY  
:?sUm SC  
　　cot（2π-α）= -cotα ]^:hV9s  
3b$] /zmr$  
　　公式六： v $ 5g@  
rnv4eM3*x1  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： .)M%>AQO  
m+p:`gZ7m  
　　sin（π/2+α）= cosα nU EY&tMe  
>s>  
　　cos（π/2+α）= -sinα 6_C!P.m  
';?2)_  
　　tan（π/2+α）= -cotα jM!j5bjE?  
<Qs;[c=  
　　cot（π/2+α）= -tanα d$k/H"T  
2}uFe a9a:  
　　sin（π/2-α）= cosα :|]kTTZ   
IneQk{Gq  
　　cos（π/2-α）= sinα oa-IK 1()  
iH* t~,l  
　　tan（π/2-α）= cotα 3]Mhk-#-  
0;r -6s!  
　　cot（π/2-α）= tanα 'eT T  
d3&A7  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 0`~(>%o/  
(<DV$`He  
　　cos（3π/2+α）= sinα n<z?m/2  
G;yMvLX l]  
　　tan（3π/2+α）= -cotα e].#PS/q  
5OJD4\@f F  
　　cot（3π/2+α）= -tanα p^EwM M  
t K"V" %  
　　sin（3π/2-α）= -cosα dE59 kg9@6  
\(:dA$BfZ  
　　cos（3π/2-α）= -sinα }w6sKZR/+H  
oxpzX9  
　　tan（3π/2-α）= cotα #QqQk`G_,  
#zo lJG  
　　cot（3π/2-α）= tanα 208~u<<z  
q8X]j  
　　(以上k∈Z) >f#V8a  
"#D,mP.L  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 rzL0kKsV?  
<2O {bS  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = y FVh1t-{h  
K71>F>UH  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } :tiDbDa99  
|K%\^-8+  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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