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日志文章


2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 -}0=Z  
/cH)F{^  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 4$fCL\o}  
eUKF@O  
  1、三角函数本质: Q8Y(xMTxD  
+hx G/Jo  
  三角函数的本质来源于定义 &CZV6w*.  
+Omnam|  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 5ER+tP,S  
M[BY(Id33s  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 > @1N})f-  
4rgCD|Rb  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: De ]/Ysw  
BO*u&/R  
  推导: 2v+^3ASc  
2T g8~  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 2i\!|&L}  
p% _$zpTA  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) q_HmcaK8  
\nEb?IW  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 4;%)ceAK  
ti@:wZ  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 . O-nJ  
"td 6G  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) 2:A?Cj0  
UcI)eoc  
  [1] (V\ y@6@z  
{1'n,w 3  
  两角和公式 k"|'#E4SE|  
ika5s~C>:c  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 'oyXBB8L  
\m&l*tY]G  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  ";(wjd{  
v86 :;Y(x  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB %:+uc+2 t  
YBz|?iP  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 8Se   
rG7k*DK>  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 4lNPL3  
(AKTCVNa{  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ]@d@.mh]  
y%Jm 9@ I  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Cf5\6F  
cw*%|;:[  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) F;Xj((}  
vT; >  
倍角公式 ai Gc(  
KMb,b  
  Sin2A=2SinA•CosA M G5.<.2  
\C)ddK!@C  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 [>bQ+n  
-4|*FpLxn  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) ko2:;  
JYGIF3#w  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) ^&044VhN  
p.a/ TpC  
三倍角公式 (@3h8\  
 8'tQ[{  
   %^XZ$ d h  
Uryk9<J  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) d%#_;QP  
uZDTH89  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 1aM x|v6  
ET'i r.  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2 ^ p++'  
z K\CVGB  
三倍角公式推导 `z-]V4#  
eV'1 /`e1)  
  sin3a +Z6K'|=C)  
@ySN} .  
  =sin(2a+a) t9JWlEQbf  
S->/K*4  
  =sin2acosa+cos2asina 1W;t(p^AOC  
Ach` =2<  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina kq 1@4x#jc  
y{iI!z< ,^  
  =3sina-4sin³a "z350sO!  
Hd'##k)]uS  
  cos3a V#/SH<  
tKljU q  
  =cos(2a+a) !+3f-n,  
qFTJ W`=  
  =cos2acosa-sin2asina E$ pzZo+|  
J[H,uV0  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa -:gZ0zZ  
S ; 8IF  
  =4cos³a-3cosa Jn6/kqkK  
5F G F  
  sin3a=3sina-4sin³a FA+_no} f  
Y~Cd_ P"  
  =4sina(3/4-sin²a) 2NV N,1=  
*KVT:.vQ  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] 7={ !;xmA  
2 (k([Zs  
  =4sina(sin²60°-sin²a) BpJ Ok  
~prn@}D  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) CRml/m7[Q  
gF{&4u1CPg  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] )Wd.,  
e(b qo) ^  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) pn4sMmL  
;,n*jMsE i  
  cos3a=4cos³a-3cosa *Ta+b`:HEo  
(%c0yV<  
  =4cosa(cos²a-3/4) ~hT{/ z)mW  
\k:kZBYI  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²]  o/#dw  
bTx9DK3j#  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) u4-p"~((  
f6c: NA  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 5i {ft {  
+Hb4F+_ &  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} {1q >_jR  
1]e ;,Tg  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  gAB F9  
wPS2 QbP  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] QK&gdkT]  
cRJ |/ 7  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] B@;FK heFw  
B-VY  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) e[(jna  
Zf^If!3  
  上述两式相比可得 'MP5.LI@2  
%`$2R4R{"l  
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) O%k."e 2  
G2JKJz*  
半角公式 =S}a%[6.?  
,>Ql.'>eh{  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); j<_9;V  
m5&>@_@  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. BF ]iyx  
9vf!2"kx@e  
和差化积 -*DfcPeZI  
BktMF&jF[  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s845WS$%  
+q{Zzd  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] VqQ"}3-  
q#F^'T)bH6  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] d6; #i]B  
0V`W P,G?  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] %UOjNG?R  
XS|q~:|  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 2u*" d  
x_&~ }]pld  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 2HY EdA8_o  
oYO%5r0yS  
积化和差 01~oU{e[  
mhT cZAM  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] AanrE v  
@?=v?H,T  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] `Q~WuI>  
(8SK?]5 R  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] h{MF s~L  
f'Uvp  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ~>CK%uU  
K-O uF  
诱导公式 5y"STk;  
UCV+LpaH!  
  sin(-α) = -sinα 6  Q\c}  
]+n}]ux 7  
  cos(-α) = cosα HK3~5{gie  
=s[?+i`4  
  sin(π/2-α) = cosα ]h? `:c&  
)h]C444TW  
  cos(π/2-α) = sinα NY%%eJ4v  
Ctxm 5j  
  sin(π/2+α) = cosα O87p m  
%Db;@7p  
  cos(π/2+α) = -sinα F{2fF{d/  
>B:0<gB=&  
  sin(π-α) = sinα E|+5.  
g5wF%A4  
  cos(π-α) = -cosα 2".-&iHWc  
LDI86l  
  sin(π+α) = -sinα / (q5Y0G  
! y^;  
  cos(π+α) = -cosα AB>0 z#L+D  
ErRgFn9  
  tanA= sinA/cosA 9}sN?=yK  
b5z3  
  tan(π/2+α)=-cotα T{?(RX1  
FE%Nv1  
  tan(π/2-α)=cotα zER[suD=  
b}II  
  tan(π-α)=-tanα xi,LUV2l  
?I T K.  
  tan(π+α)=tanα `eNjGm  
s4^ W]q  
万能公式 8Iukf3+B(I  
du*`J{S_  
   "iw sZLKi  
E$%yNzFS  
其它公式 FvAN7P  
]^pIG4^  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 2aQ Qt a  
l^&w}[G#  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 Xlr7bdG<~  
=w{*X'3$  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 +U4\)!2  
Y ,=]v  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 u^8uy4F  
*]1k))|x6&  
  对于任意非直角三角形,总有 5b  
mws r<!  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC {C;H- U  
SO"Oy@g=  
  证: !&y/poL  
<bv})q~k  
  A+B=π-C 0XhJ/;lXE  
Z?.i lL)  
  tan(A+B)=tan(π-C) Vfx\9SqsUm  
o?BC-  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) L F{&c)5$  
Uza slv}  
  整理可得 vgaQQM-n  
E!zQ!Y[r  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC +.jMX!$ (  
o`Czt!\   
  得证 ddS%C(s  
j.U]#%tH  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 *fcs<&  
zGYB FKAX  
其他非重点三角函数 %k}Wrr;n[  
Dw4!^'Ac  
  csc(a) = 1/sin(a) %g;yR?>VM  
egt%Eif*!  
  sec(a) = 1/cos(a) z8t:aoC-F  
\/:.(~&-6  
   0jeX^q;x  
`F)hz?D  
双曲函数 HK <xA d$  
qH+=fccv2:  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 W4 >Zha-  
>F$?[n  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 0/][w |&  
mkL>+S=  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 66Sj!{cg  
.oyS,e**  
  公式一: 3#9my D   
auu !d\r  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: ^-jaK>7  
s%JG,H}@  
  sin(2kπ+α)= sinα u3kO@<z(#  
rY` }bi  
  cos(2kπ+α)= cosα 6[Bz-} T  
= &7O  
  tan(kπ+α)= tanα L]2]>  
0 Ch ":Q?  
  cot(kπ+α)= cotα hy) 1]7  
z4@xS:o L2  
  公式二: Hu-:3/[v  
A^GK[ &  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: >f$Kx-3|  
{Z%II7#>  
  sin(π+α)= -sinα a%$jImH#  
b`^;^yY  
  cos(π+α)= -cosα B7m+\mE1L-  
?$p,\bis  
  tan(π+α)= tanα xTwuw0)  
[w!6LEmU(  
  cot(π+α)= cotα pM!f+XnNd  
Zl 7}6_SM  
  公式三: oy,XF.NKs  
S`#,cSv+  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:  0l'KVN  
hELL<+ !4\  
  sin(-α)= -sinα Y+P \I]6md  
@ROQ[L-   
  cos(-α)= cosα 7CJsJJ  
%+gam-p:^  
  tan(-α)= -tanα #`\jJX  
Isu[1[,l  
  cot(-α)= -cotα ]}f/6?*=#4  
YW3Zf  
  公式四: Pns1*T  
%tl(}uQ  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: [Y.~|Z  
,0sL|h  
  sin(π-α)= sinα ;g;w!B]Y  
_Nxy[lT  
  cos(π-α)= -cosα `5 O4J(-  
TVt^[bVP]Q  
  tan(π-α)= -tanα  -+49eKv  
|4f%}@w>`  
  cot(π-α)= -cotα |<y~)g  
=V p6`FWS  
  公式五: ^pclgM,;  
KUPv(#e.Fc  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: R^Eu :z  
mSHFwp"  
  sin(2π-α)= -sinα ni3q3U0X>r  
-9To'{  
  cos(2π-α)= cosα y>F`ap)Z  
3SdgT`f3B  
  tan(2π-α)= -tanα wG/vw^lld  
; {4tu:g  
  cot(2π-α)= -cotα [H!koz-  
#svZ   
  公式六: a{ZI  
xen.tP  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: i!W'w4}  
|V[xQ$F}  
  sin(π/2+α)= cosα B<|KkL:qg  
'P= `$B  
  cos(π/2+α)= -sinα A>ysVkK&(a  
J f9/7bCsW  
  tan(π/2+α)= -cotα eA;LlV9 k  
y0% O{  
  cot(π/2+α)= -tanα )kR1LBwQC  
>}ev!4K  
  sin(π/2-α)= cosα zt.(utDb  
rb?'!C  
  cos(π/2-α)= sinα ^Q9FU>6naP  
AUj?>5  
  tan(π/2-α)= cotα kJ8[ yN  
JIrF] M%  
  cot(π/2-α)= tanα ;GjU*bAF  
8wW=dV*oe  
  sin(3π/2+α)= -cosα [AQ(Qf,RY  
M3 5P  
  cos(3π/2+α)= sinα 1$6-unL  
@7 -C'5D  
  tan(3π/2+α)= -cotα CP;+=LGAM!  
(,##"HL?  
  cot(3π/2+α)= -tanα & ,),a  
lDm$.^t>  
  sin(3π/2-α)= -cosα Qgez6.U  
i` bD%UmE  
  cos(3π/2-α)= -sinα D@rs_Ed  
~ZK.]sT  
  tan(3π/2-α)= cotα xX>@G-  
gM6i&+&z}0  
  cot(3π/2-α)= tanα K,P*@>%X  
YP-#>\}  
  (以上k∈Z) (<}4wD.b  
km89w+Fi  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 45 9qY6-`  
an\8a0   
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 35e*o`Va  
.M(>/sU  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !wpVCj4nh  
f0L-  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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