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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 R2OOsl  
yB?+nY  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +;zwC:  
IwFB"FDb  
　　1、三角函数本质： GePN <CC=  
: &5x?IT  
　　三角函数的本质来源于定义 #k1JF3|  
{zGaqOL.  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 +~k"7U  
/{!>SV*  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 2t!<nZ  
O|PZF4  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： J2y/AiU  
i#SUz^+/  
　　推导： ;"PZTz  
`=Kx."  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 >VV^IJ> BM  
M>S+TBxV  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) ]xM#]nE;X  
?T~sVAs\  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) r=]O (+  
Kz#:iZ&  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 VZJ<_\p  
PB~WrLA  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） D%'(pMu  
}M:GaV*w  
　　[1] '0_W}PC  
`P.-x<^  
　　两角和公式 9hW. $Gitw  
Z~je ^E Y  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB <h7} >U  
 lt3WRM  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `n^tx9r  
&/3ME Rx  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB `4:(e A2M  
CCA:Cmgn5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB [7FD#_  
2\Q$b1X!S  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =<5`31_  
O8XWG -  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) -_[`t Ip2Y  
Ce X(  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ~vt:%v  
"e {>/U  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) A`u1wmRb  
knFkP D+R  
倍角公式 6AH ;n  
hg(c,ThP"  
　　Sin2A=2SinA•CosA K"8Zv{K%  
]r%4H[[  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ;/id% C}7B  
~hVog/  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） /}m7moGN  
gw.IsM   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） -gpdP1/  
(Sec0u  
三倍角公式 V9:v+sbq6  
tf ?&Ujk  
　　 B E Biupte  
X`SH9oi  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) >< *7)}P  
jjFu{>J`  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) u7ypo[T2  
 iu%WnJ  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) t->M-=(  
{;:n%/F7  
三倍角公式推导 z/W^9t  
AB@* ks".0  
　　sin3a [KPYG/R  
#J1P>J a  
　　=sin(2a+a) yiCC5C]  
6 ^5Ck#L  
　　=sin2acosa+cos2asina iS3 eN=  
&W+y*NTV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina uuv_+eI=  
Wjt(  
　　=3sina-4sin³a L'@`z9  
~wvD*G%  
　　cos3a 5y /yr)b  
A!^>O)%  
　　=cos(2a+a) uNiY"4=44  
{SG7rev  
　　=cos2acosa-sin2asina G.]0 7  
nE^+$,/  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa "Ei~ScP[  
KWld#rx=  
　　=4cos³a-3cosa 6uW<XLot  
!jPnr~ej  
　　sin3a=3sina-4sin³a lp%d _x  
NHnZ}{2+{#  
　　=4sina(3/4-sin²a) jP6[?qOO 4  
zK?~7oc  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] }/#;2{$,}  
UOCdCt[D  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) {7O2ATzk  
kG%3@["  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) bT Av*:W  
_Jsp-NN@  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] IhNqd>W%6  
w(?$.xz  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _f0zEos  
"l"xEj  
　　cos3a=4cos³a-3cosa M8N0ok  
g`gG"m'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) $;$XnRw  
`o!lqdU  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] cQg.(D@v;  
sO#&J+.v  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 1+Iw(B.(_  
L:H&,? Y  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ~(JEd[8  
'o5]FxCP0  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 0Lp/r8  
)H@%KGm  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) (Up1=QO  
u0t*/l  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] m7Z h 4  
Hny <CtqM  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] r/Z)W.k  
[k7?4<  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) mLlfT r  
u_?]lTG0f  
　　上述两式相比可得 _]Msl+z;  
<&c}=lsTyw  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) MmBxb(yin  
p-6u%Hv  
半角公式 vq%2Mf>  
>ga$ur.  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); %Cyg/O  
5pnt  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ^5 )Dyvdd  
6:k_~8U%KY  
和差化积 ($u9j ^ym  
N0yr4,.X  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] ?<G/='_`+  
D(E Yg4  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] {Sh37/'  
%3ht(LU  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] !>moA8D  
9ohf\)4:z  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] wYt]P `(v  
F\-q:'  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) p5s6=6#@9  
4}MphMat4X  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) aYwYv@c7+  
~ZArl jr  
积化和差 g?yNU9{,H  
6^V=_]i99  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] [="sBsoc  
IH=.; hZ!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] j0g2'|TS<  
 QW&wCI  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] LWvY4 X  
%lf:ij,;  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] U@?`d,~  
Fv,} z+>|  
诱导公式 fN8](%H}  
Bmh pP+b  
　　sin(-α) = -sinα O0< |N9l'  
Tmwcfo@LD  
　　cos(-α) = cosα !+ |L -  
O&K_!B"  
　　sin(π/2-α) = cosα kw v9JM;  
Lt$hlP o  
　　cos(π/2-α) = sinα lfVn%uL4U  
3e 9e`|:7  
　　sin(π/2+α) = cosα ^v@ 5K" x(  
T=%`BP  
　　cos(π/2+α) = -sinα  L??hdf  
>> ;G}tW&  
　　sin(π-α) = sinα / )`TW  
U {9{8zx`  
　　cos(π-α) = -cosα as?"8BE:  
0fzK D#)  
　　sin(π+α) = -sinα piGT,C  
7vwM$`Vq  
　　cos(π+α) = -cosα /VZE!+(9  
dX6 bP/`W  
　　tanA= sinA/cosA uDnmItx  
`E)1NX d  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα tS {xf  
[`Ep'T{4  
　　tan（π/2－α）＝cotα 5;}PD-xZ4}  
^XSG6~vx-M  
　　tan（π－α）＝－tanα ^#?FZ:   
3`O#Q?1O=  
　　tan（π＋α）＝tanα J$D^4  
S4)gDJRag  
万能公式 ?q+#OZ/0w  
|,eHp~JrT)  
　　 l@ cMw06  
l*hPd`M}y8  
其它公式 uz2@<<9<  
#s*c#x!  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 7  ;\({  
eB?$G9[c  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9-l"LsD  
*s(:  @>  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 h|v gqY  
w%2)B)f  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Sa`m,bvI{  
oL f2.  
　　对于任意非直角三角形,总有 w(QWy9.  
FcF#ei+]R  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Jjcz;BM@G  
(m|.W{~  
　　证: VddX,I@  
yr'9a/~O  
　　A+B=π-C e~Gab(_UzQ  
mrZafmLsK=  
　　tan(A+B)=tan(π-C) 1yZct^|wgf  
_Cm4T0zc  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) r_qY'<  
PCb?r\e>3  
　　整理可得 !8 S,('`+  
x4K(   
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC CR ,X GC)  
Hp C>z#6  
　　得证 Ohk}30 %  
||{xr~zh  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 5 E4$C[+  
+A@ngd  
其他非重点三角函数 jNnBXl%  
%H=*rL  
　　csc(a) = 1/sin(a) vi/h[eY  
enqxtDIJ  
　　sec(a) = 1/cos(a) ^r(!&N V  
(D(|L3  
　　 z!0 !o*;H  
;KnPey  
双曲函数 c!:S[  
6 bzO49  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 AP [,F|  
D X`}[;  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 97Otcg!'  
zwf4.k`U  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) l7Vs&Kz  
[I~s`}gAK  
　　公式一： U"!8.U  
O2+,~Vz#7  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： a_~v"`  
MkDbY:Ccx  
　　sin（2kπ＋α）= sinα zu~oh   
yjt +2  
　　cos（2kπ＋α）= cosα >Z B:!O  
%3l|sXx76  
　　tan（kπ＋α）= tanα WI8sxV_Q  
~o<YCP 0g  
　　cot（kπ＋α）= cotα az42'^#"nZ  
tKTjsD~h  
　　公式二： QL-+BzAV  
)V 5.Hjbz  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： rX1:Gm  
XkKPN%APvw  
　　sin（π＋α）= -sinα oU)h X  
wi@q [DC2  
　　cos（π＋α）= -cosα 1+}W6v  
A@ CUE  
　　tan（π＋α）= tanα Hvq;tMT' -  
*mmqrRQzP  
　　cot（π＋α）= cotα {P )T`M-J  
4RyaL"D  
　　公式三： %yqmB9nU72  
GFR0x8f9  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： [$T%~TM_-  
13R2CEU  
　　sin（-α）= -sinα cAg?@X  
yO>c~v@S  
　　cos（-α）= cosα C &-iUj  
~VV--, S?  
　　tan（-α）= -tanα ;dsQ*HuT  
)z2 iM  
　　cot（-α）= -cotα ^s0$6,ob(#  
q7a/3V'lP  
　　公式四： a>2gq*2CJ  
1U>DS  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Cp}g #r5  
 m#.RyryN  
　　sin（π-α）= sinα .d(Lkj  
[rWm0k"n  
　　cos（π-α）= -cosα 3mF WW3]  
c";*ux8A  
　　tan（π-α）= -tanα T,3JzI9#  
/xx/a/.  
　　cot（π-α）= -cotα @~ %.iqI  
t"i9XkKv  
　　公式五： H=9 `  
+(kj x<,  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：  z[J5y  
tc#JBQd'&  
　　sin（2π-α）= -sinα g,Y1c+em  
~Tv_6M  
　　cos（2π-α）= cosα 8':Ul6|JL2  
07HMbc~/>  
　　tan（2π-α）= -tanα 5(Qt0L5  
1)i+cU3\|l  
　　cot（2π-α）= -cotα #i*3}t  
oaJx7E20c  
　　公式六： :8u#hb])b|  
;mgM!^*  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： wYy,3y_j  
7 e,fJci_  
　　sin（π/2+α）= cosα uKm<ft(f  
Uq\sdIk  
　　cos（π/2+α）= -sinα 7LZ cEd\  
>Ppx z&J3  
　　tan（π/2+α）= -cotα u#{)8n11  
S lDYs  
　　cot（π/2+α）= -tanα M U==3r:N  
DmZq3TB(  
　　sin（π/2-α）= cosα Fdm/0}  
j#>0+ ph  
　　cos（π/2-α）= sinα mPI-WQFmu  
83n0|>*  
　　tan（π/2-α）= cotα G&o~z k v  
Uq8,7MM  
　　cot（π/2-α）= tanα jLl@4M  
Pb#K+]ijc  
　　sin（3π/2+α）= -cosα nH9n}Z>  
B.l8: pK  
　　cos（3π/2+α）= sinα ~b{{g* @F=  
mg'&?)>>Fq  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Dah,_n(  
k[eo2Tk9{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα iSy O9oN  
4`JbK cS|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα U~-7"1G  
"eIftB3}  
　　cos（3π/2-α）= -sinα {Ygh4PZp  
-wpRNTh7  
　　tan（3π/2-α）= cotα ;TluW]7U  
V^@~,jC  
　　cot（3π/2-α）= tanα b6e+Pb-  
lb'G0G"d'  
　　(以上k∈Z) h5"trv  
)e0("+M;  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 E0]?u^g5>  
9#e1]VK-  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = c.hW6<u^$`  
_'X&]C+&V  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } kSyg;J;B  
d7tv&E  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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