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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 berZ>]=0u  
 w([1  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. M we(  
NXf;-c  
　　1、三角函数本质： )l#g=mMfG  
L&eF?N<:  
　　三角函数的本质来源于定义  b,mg~}  
^W? %E  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 #.po]?/C  
j^VaaKC}  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 }E=$nlPw  
8J>jfvL  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： [^E7MiUCk  
)gzQ-\ Y  
　　推导： R,uPn.  
<_ahn4smW  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 twmVuu'%  
-@SBA:6;  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) t(bl6%  
0dm)Nn$  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) .eh1Tc  
CftY$C  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 :1] Hokka  
SGlwBZ&to  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） &~?>M  
XHuK!//  
　　[1] pV1_w.y1";  
C_/eI&E  
　　两角和公式 :s1xZ.lXAf  
#*e _,VB  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p 0u$8L  
BMobg0  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  !cp\ o  
sWy?WwRS  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB -|N5F"@6  
yw7&}$k  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB r]3p dEq5&  
J;'78x=  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) gWt:0+}t,&  
z4KM`+5  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) N#QB91<  
FK4`pzY  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  PO"-&h[.  
~2WPr.mY  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Vy[-[w7y  
;S,wI%(~D  
倍角公式 4x_`hUSQ  
_BM~-cEe;K  
　　Sin2A=2SinA•CosA Ph#~>2jd2  
kd z/'iV  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ^% I'uw:  
U oq1"t&y  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Eyg-<yT@[G  
SSd\Bc?~;$  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ;r>#W!e9"  
N.Q^Ld5-<  
三倍角公式 C4 I2+q93~  
m'XBIh)6  
　　 mFtcJ#:a  
w Anal0   
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) []14 YM\  
o"CnMIM,xp  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) To2M|zb  
.(|nt-\  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) [WF(r\%  
U| ~j' ]  
三倍角公式推导 |e@oO!&  
Da\Cca  
　　sin3a )`jq2sh  
-AaKPB~e  
　　=sin(2a+a) #";OnA"/f  
:J`w/_*  
　　=sin2acosa+cos2asina ;@&M8i y %  
#t GcPk'  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina `az$.1=A  
qlpaH&  
　　=3sina-4sin³a ]hm <Ju  
?cJW-Jp\1  
　　cos3a !7`~ps  
\(?t/Icr  
　　=cos(2a+a) R{D  LtZ  
r#y'%  
　　=cos2acosa-sin2asina V 0DT~r  
] `;VP _  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa * nq mv>u  
qqFU)D  
　　=4cos³a-3cosa Rsr>&3he&&  
.x`elm2]T  
　　sin3a=3sina-4sin³a Y`s7~|'X  
Cgz R,C  
　　=4sina(3/4-sin²a) e?^[  
\< B  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a]  4I2>b  
^ GHET  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 6v g|S  
AoF/ f6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) /b|KnPcc_  
x[y.6(]  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] T mW95"Y  
'}V8Z^|gD  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 3y_75^KM  
a"d/(\4y{  
　　cos3a=4cos³a-3cosa V:g"40  
Oo(4UeP  
　　=4cosa(cos²a-3/4) =)Tqe-Py  
/"G\eg G  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] v'HlFw}'D  
kkA7U,lj3  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) x~d;6 6  
74axq  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ` !> yh  
_fo.6GueX!  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 1zISW  
Pr(6~SP7  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) q?:B<3A  
{Y+78CO  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] IX]3!~P27  
K]xP G  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] A" xo;  
%qo{c"L  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ;n'M"0iC  
(8Hc;,m0  
　　上述两式相比可得 g(t1$  
lwpx,m+:  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 7gIt{@vi/  
:MxNud+  
半角公式 56Am" af  
C$'"}8  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); oT5x3(Ws  
*&BK%_ 9J  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ?vxt9q51  
zDMVen[ ?q  
和差化积  F.fAPmL  
h->r")/  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] >S2 )x.eX  
  @ D  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] cFh6`'  
M`VO$~BA  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] XAWj$  
ACGv\@D  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $p};t/q  
.m4 rZ6\@S  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) BUH-ez7Whu  
<     
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) u}Ez|yGKH  
75<3 ?Q!@  
积化和差 <En[ @D8  
=Hs>97Wh  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] TEMrf\  
qy%V=*d  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] h}ls=+`T  
C5 VR]g,?[  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] f. rfhV  
U.,EQe1$  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Rvy3/gZ&  
d';6.@Fnb  
诱导公式 F-hFXNK{  
[ %_48D$_  
　　sin(-α) = -sinα 'pX-hR8 8  
\2:pzC  
　　cos(-α) = cosα TL^".=&  
5;|HGc5  
　　sin(π/2-α) = cosα xm1lTI&e  
O E3n  
　　cos(π/2-α) = sinα |t * x&  
V'V~sC#MS  
　　sin(π/2+α) = cosα p! ]6/7@H  
*^%h/&>E  
　　cos(π/2+α) = -sinα Vj)b0Pd<(  
k 0S:3{  
　　sin(π-α) = sinα */yZ?lWWc  
j |r jUuD  
　　cos(π-α) = -cosα r>m!ls?!  
V@EivYT  
　　sin(π+α) = -sinα I( )HVkn*  
Z; w8#^.}  
　　cos(π+α) = -cosα -C hIY&  
81h+FAl{*  
　　tanA= sinA/cosA 5,GWOkI/  
Aoz,k,.(!K  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα IsAqHkE2s  
U/|w:E!@h  
　　tan（π/2－α）＝cotα VV6[`  
D-zM5)*N-  
　　tan（π－α）＝－tanα dj\N*03  
Hm;HV0x5  
　　tan（π＋α）＝tanα 3X;<p8pY  
56#(w2Ig  
万能公式 T">v8)  
@x]m# `#(>  
　　 m 'IN)XCz  
UfgP p  
其它公式 *]X^_./H  
qo&&t?v  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 &A`=(lC]  
U (e@.:@  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 ,awV`X  
}Ie gb'$  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Bj4/m[>|/  
D.6KxJ f`  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 }Y =s\4  
1lp/WBF  
　　对于任意非直角三角形,总有 \O ~\2c  
>Q6: 4\%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 3W~ CoA0|  
0P01FC  
　　证: ND\m TB  
?T2 yD?T  
　　A+B=π-C &Xi[O  
.gd61]{,q  
　　tan(A+B)=tan(π-C) HOZ ~Qp^  
4mp@8w~^  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) ~Hb.SH0d  
{c|D\0  
　　整理可得 \jYEU|(  
$->Sy  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC +R2kcx  
2[|oZ c(O  
　　得证 %s cuD_p  
hy9g(&_r`  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 i2 xVHG{p  
CG? @ C  
其他非重点三角函数 ES"d0bUL2)  
E=R-#|  
　　csc(a) = 1/sin(a) *@( $ZY  
yrxLZoo  
　　sec(a) = 1/cos(a) R3=n-k  
#i%hvp  
　　 fK8^= f  
*,lqp `  
双曲函数 Lu.A}<  
FtHm^TAT  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 5L#jY'j  
UQqlmW>X  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 x q 0(  
le48NeT/z  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) _`m)&3y  
C8yUPX%jW  
　　公式一： d@hmtnOA  
XkXl<Xn,  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： LjqA$!`_  
l&FSjM{  
　　sin（2kπ＋α）= sinα T% &Uk6 ?  
kk.H^lr  
　　cos（2kπ＋α）= cosα " <Riw=6  
y3)7wPK")  
　　tan（kπ＋α）= tanα tQry^  
S+ zmBTS  
　　cot（kπ＋α）= cotα 4;$T#/_  
LUlY  
　　公式二： RA#4ENm|  
0=X} =]  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： J{~\ &4  
F [.i3>  
　　sin（π＋α）= -sinα WR6+8NYu:  
H8|a7)ut  
　　cos（π＋α）= -cosα C)W{ W5 k  
J7pw  
　　tan（π＋α）= tanα Ha0V<KV8  
E`)@T%6O  
　　cot（π＋α）= cotα S*FKDHYn  
ee+fOX  
　　公式三： (GX?~"LK  
Qn|Y]  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： fhPHJ H  
;jn3L57 ,?  
　　sin（-α）= -sinα sY5%4MVM;  
\Fz{t1&q  
　　cos（-α）= cosα 3 N&*b#Us  
j|@G'k  
　　tan（-α）= -tanα `sWjX60m  
xA/ispHp={  
　　cot（-α）= -cotα {*7eX[bU  
/J9US3  
　　公式四： Ko~SP?  
5 E#ui7  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： s}@ `MG  
2 sY%<,2,  
　　sin（π-α）= sinα .h%C@Qa~  
kY5M/KAL  
　　cos（π-α）= -cosα ueH";W  
[+*av-I%  
　　tan（π-α）= -tanα +A=-w,X[  
!H_"9 7V3  
　　cot（π-α）= -cotα HV.TnpM[  
V\dY?- 3  
　　公式五： [SQ^_uGX[  
!yA0en  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： zl vF45Q)  
PKCQasM\  
　　sin（2π-α）= -sinα %M~(MmBG7  
#*Xx|, B  
　　cos（2π-α）= cosα ULfG:2  
xp^6`[5d  
　　tan（2π-α）= -tanα WdC^ GSP  
bqQ{<Es)~  
　　cot（2π-α）= -cotα f/k!AtP !&  
`=n1=Y  
　　公式六： E h+N8  
]nBf{Xd  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： &:TDOlpc0s  
s3;& N  
　　sin（π/2+α）= cosα c{ 6X M7  
7`tEB`To}_  
　　cos（π/2+α）= -sinα TpW -/BD  
\S 1\cz  
　　tan（π/2+α）= -cotα u.% !  
b3E#:D  
　　cot（π/2+α）= -tanα s!v| / Q  
h C w2EO"S  
　　sin（π/2-α）= cosα tigmlu|"s  
GF_m$p3z_  
　　cos（π/2-α）= sinα  _TOx  
5kz"g]J  
　　tan（π/2-α）= cotα RAPS9Cn  
e\]d,767Z+  
　　cot（π/2-α）= tanα V5`42 s.  
23HX`?S8  
　　sin（3π/2+α）= -cosα K4<U \Ce]y  
.vyQYzY`{7  
　　cos（3π/2+α）= sinα vSI^#t/  
SNNZ-Kl  
　　tan（3π/2+α）= -cotα \3kcClD@  
Q1Pl }}{  
　　cot（3π/2+α）= -tanα O|$*i]-  
R^XZW[ R  
　　sin（3π/2-α）= -cosα bA5%wTe+Fi  
r!Q|TL#  
　　cos（3π/2-α）= -sinα :i h?0! 5  
p/TG>y  
　　tan（3π/2-α）= cotα ?hC^^^3  
9 ]F`8p0  
　　cot（3π/2-α）= tanα s{LSi Z_M  
U\;WR<KR  
　　(以上k∈Z) Og/xX `Z  
PrUD2QQHb&  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 G>W]Y(|  
D%7 Uro  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = u'ox>  
CUXouv  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } ghE]nS6  
PG&9#QQY  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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